VECTORES
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I-1. DEFINICIÓN. Consideremos una situación en que se nos pida ejercer una fuerza. Se desea que apliquemos una fuerza de, digamos, 50 unidades sobre un cuerpo. Es inmediato que preguntaremos: ¿Esa fuerza hay que ejercerla hacia arriba o hacia abajo? ¿A la derecha o a la izquierda? Cantidades físicas como la fuerza, el desplazamiento, la velocidad, no quedan especificadas por completo con solo su magnitud, sino que debemos conocer, además, su dirección y sentido. Llamaremos vector a cualquier cantidad o ente físico que posea magnitud, dirección y sentido. Ejemplos adicionales de vectores son la aceleración y el campo eléctrico. Los vectores se representan con letras latinas mayúsculas o minúsculas, con una flecha encima, tal como A, r . Gráficamente un vector se representa con una flecha, como en la figura 1
A la base 0 de la flecha se le llama origen o punto inicial del vector. Al término P del vector se le llama extremo o punto terminal. La longitud de la flecha es proporcional a la magnitud del vector, su dirección y sentido son los que especifica la flecha.
I-2. ESCALARES. Pensemos en un día caluroso en una ciudad como Maracaibo o Coro. Un valor típico de temperatura es de 42 °C. Notemos que no hace falta más que conocer la magnitud para que la temperatura quede bien especificada. Cantidades o entes físicos que poseen solo magnitud se denominan escalares. Ejemplos de escalares son la energía, la masa, el volumen, la densidad. Los escalares se designan con letras griegas o latinas, mayúsculas o minúsculas.
I-3. OPERACIONES CON VECTORES.
I-3.1. IGUALDAD: se dice que dos vectores A y B son iguales si tienen iguales sus
magnitudes, direcciones y sentidos, independientemente de sus posiciones en el espacio.
(ver la figura 2)
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I-1. DEFINICIÓN. Consideremos una situación en que se nos pida ejercer una fuerza. Se desea que apliquemos una fuerza de, digamos, 50 unidades sobre un cuerpo. Es inmediato que preguntaremos: ¿Esa fuerza hay que ejercerla hacia arriba o hacia abajo? ¿A la derecha o a la izquierda? Cantidades físicas como la fuerza, el desplazamiento, la velocidad, no quedan especificadas por completo con solo su magnitud, sino que debemos conocer, además, su dirección y sentido. Llamaremos vector a cualquier cantidad o ente físico que posea magnitud, dirección y sentido. Ejemplos adicionales de vectores son la aceleración y el campo eléctrico. Los vectores se representan con letras latinas mayúsculas o minúsculas, con una flecha encima, tal como A, r . Gráficamente un vector se representa con una flecha, como en la figura 1
A la base 0 de la flecha se le llama origen o punto inicial del vector. Al término P del vector se le llama extremo o punto terminal. La longitud de la flecha es proporcional a la magnitud del vector, su dirección y sentido son los que especifica la flecha.
I-2. ESCALARES. Pensemos en un día caluroso en una ciudad como Maracaibo o Coro. Un valor típico de temperatura es de 42 °C. Notemos que no hace falta más que conocer la magnitud para que la temperatura quede bien especificada. Cantidades o entes físicos que poseen solo magnitud se denominan escalares. Ejemplos de escalares son la energía, la masa, el volumen, la densidad. Los escalares se designan con letras griegas o latinas, mayúsculas o minúsculas.
I-3. OPERACIONES CON VECTORES.
I-3.1. IGUALDAD: se dice que dos vectores A y B son iguales si tienen iguales sus
magnitudes, direcciones y sentidos, independientemente de sus posiciones en el espacio.
(ver la figura 2)
A un vector con igual magnitud y dirección que el vector A , pero con sentido opuesto se le
representa como A (ver la figura 3 )
I-3.2. SUMA DE VECTORES:Los vectores pueden sumarse. Supongamos que sobre un cuerpo están actuando simultáneamente dos fuerzas, que llamaremos f1 y f2, o que un movil experimenta sucesivamente dos traslaciones, r1 y r2 . La experiencia demuestra que en el primer caso el cuerpo se comporta como si hubiese sufrido el efecto de una sola fuerza neta, o fuerza resultante; y en el segundo caso existe un desplazamiento total, equivalente a los desplazamientos originales. En cualquier caso el vector resultante lo podemos obtener mediante cualquiera de los procedimientos geométricos que se indican a continuación :
Método del Triángulo: en este método se coloca uno de los vectores que desea sumar, digamos el vector B a partir del extremo del vector A. Se une el Origen del primen vector con el extremo del segundo. Al vector así obtenido se le llama Vector Resultante. Puesto que la figura que queda determinada es un triángulo ( ver la figura 4) ,llamamos a este Método del Triángulo.
Método del Paralelogramo: igualmente se pueden colocar ambos vectores de forma que sus orígenes coincidan: por el extremo de cada vector se traza una recta paralela al otro vector, se une el origen común a los vectores con el punto de corte de ambos vectores, este es el vector resultante y el método que acabamos de describir se llama Método del Paralelogramo (ver la figura 5). Es claro que el resultado obtenido es independiente del método que se use para encontrarlo.
Para sumar un conjunto de n vectores podemos generalizar los métodos anteriores: se colocan sucesivamente uno a continuación del otro, de forma que el origen de un vector, digamos que el k-ésimo, coincida con el extremo del anterior, digamos el (k-1)-ésimo. Finalmente hallamos la resultante uniendo el origen del primer vector con el extremo del último (Ver la figura 6 ).
La diferencia A - B se define como A + (-B)
I-3.3. PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR El producto de un vector
A, por un escalar m es un vector de magnitud |m| |A| , igual a |m| veces la magnitud de
A, de igual dirección y sentido si m > 0 ( si m es positivo) y de igual dirección , pero de sentido opuesto si m es menor a 0 (si m es negativo). Ver la figura 7
A continuación se resumen las propiedades de vectores encontrados hasta ahora:
I-3.4 VECTOR UNITARIO: Es un vector que tiene como magnitud la unidad. Si A es un vector distinto de cero, representamos por  al vector de magnitud 1 e idéntica dirección y sentido que A. Entonces, A= |A| A, por lo tanto:
Observe que el símbolo para el vector unitario es un capuchón encima de la letra que representa al vector.
Existe un grupo de vectores unitarios muy importantes y son los que describen la dirección y sentido positivos en un sistema de coordenadas rectangulares del espacio (se utilizará sistemas de coordenadas derecho, es decir, si se hace girar la primera coordenada hacia la segunda en sentido de los dedos de la mano derecha, obtenemos la tercera coordenada en el sentido en que apunta el pulgar , como se muestra en la figura 13.
I–3.5 COMPONENTES DE UN VECTOR : Cualquier vector en tres dimensiones puede representarse con origen en O, el origen de un sistema de coordenadas rectangulares (ver figura 14 ). Sean α ,β ,γ los ángulos que forman el vector con los sentidos positivos de cada uno de los ejes, esto es, α es el ángulo entre el vector y el eje x, β es el ángulo entre el vector y el eje y, γ es el ángulo entre el vector y el eje z . Llamamos Ax a la proyección del vector sobre eje x, Ay a la proyección del vector sobre eje y, Az a la proyección del vector sobre el eje z, como muestra la figura 14 . Nótese que se han formado tres triángulos rectángulos en los cuales el vector constituye la hipotenusa y la componente a lo largo del eje respectivo es el cateto adyacente del ángulo. Entonces:
Así que podemos escribir A=Axi + Ayj +Azk
La magnitud del vector es:
Note en particular que el vector posición o radio vector del origen de coordenadas al punto P(x,y,z) es r = xi + yj + zk y su magnitud es:
Algunos textos suelen designar los vectores como ternas ordenadas. La primera componente de la terna representa la componente x del vector y así sucesivamente. Entonces el vector A podrá representarse indistintamente como: A= Axi + Ayj + Azk , o también A= (Ax, Ay, Az) . En particular los vectores unitarios de la base cartesiana se podrán representar como:
Los ángulos α ,β ,γ que forma un vector con los ejes x, y, z respectivamente se llaman ángulos directores. Se llaman cosenos directores a los cosenos de dichos ángulos. Para un vector cualquiera sus cosenos directores cumplen con: (cos)^2.α + (cos)^2.β + (cos)^2.γ = 1
I.3.6 SUMA DE VECTORES. MÊTODO ANALÌTICO. Es natural preguntarse qué condiciones deben cumplir las componentes de dos vectores idénticos y cómo sumamos vectores de componentes conocidas. Resulta que:
Estos dos resultados se usan extensivamente durante todo el texto.
I 3.7 CAMPO ESCALAR. Si se hace corresponder a cada punto P (x,y,z) de una región R del espacio un número F, F = F(x, y, z) , decimos que F es una función escalar de la posición o un campo escalar definido en R. Así , la temperatura de cualquier punto de la superficie de la tierra define un campo escalar.
I 3.8 CAMPO VECTORIAL. Si a cada punto de una región R se hace corresponder un vector Vv decimos que hay un campo vectorial o una función vectorial de la posición definida en R. Entonces, la velocidad V (x, y, z) v del viento en cada punto de la superficie de la tierra define un campo vectorial.
I-3.9 PRODUCTO ESCALAR: hemos visto que podemos sumar dos vectores A y B. Una operación adicional que se puede efectuar con vectores es multiplicarlos. ¿Qué se obtiene al multiplicar dos vectores?. Si la operación que realizamos nos permite obtener un número o escalar, hablamos de producto escalar. Se define producto escalar de dos vectores A y B. como el número que se obtiene al multiplicar las magnitudes de los vectores por el coseno del ánguloϑ que forman cuando sus orígenes coinciden. El producto escalar de dos vectores A y B se simboliza con un gran punto A • B
Observaciones: 1) El producto escalar produce un número, no un vector.2) El ángulo ϑ usado en la definición cumple con 0 < ϑ < style="visibility: visible;" id="main">≠0 y |B| ≠ 0; A • B puede ser positivo ( ϑ <> 90°). 4) Cuando A y B son perpendiculares, (ϑ = 90° si A es perpendicular a B) A • B es nulo.
Aplicación: El trabajo T efectuado por una fuerza constante F cuando se aplica a un cuerpo que sufre un desplazamiento d se define como el producto escalar de F por d, esto es: T = F • d = |F| |d| cosϑ
Note que P F cosϑ = Fp, es la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento, así que nuestra definición de trabajo coincide con la usual de T = Fp.d . Además F perpendicular = |F| senϑ es la componente de la fuerza perpendicular al desplazamiento.
Si A y B son dos vectores cualquiera A • B= |A| |1| cosϑ es la componente de A en la dirección de B. Hemos obtenido un procedimiento para proyectar un vector en una dirección arbitraria.
El producto escalar posee las siguientes propiedades:
I-3.10 PRODUCTO VECTORIAL. En el apartado anterior multiplicamos dos vectores. ¿Qué ocurre si el resultado de la operación es un vector?. En tal caso hablemos del producto vectorial de A y B, y simbolizamos esta operación por AxB. Nuestra definición será un poco más compleja que la anterior puesto que ahora debemos especificar la magnitud, dirección y sentido del vector. Un aspecto fundamental es que esta definición tiene inmediata aplicación, pues hay cantidades físicas (que se especificaran más adelante), que se comportan como un producto vectorial. El producto vectorial de dos vectores A y B produce otro vector C cuya magnitud viene dada por el producto de la magnitud de cada vector multiplicada por el seno del ángulo que ellos forman cuando sus orígenes coinciden, y su dirección es perpendicular al plano que forman A y B, de tal forma que A, B y AxB forman un sistema derecho. Esto es, si giramos los dedos de la mano derecha en el sentido de A hacia B, el pulgar da la dirección del vector resultante. (ver la figura 21)
De la definición sigue inmediatamente que si A y B son paralelos, entonces AxB= 0. Esto implica además que ixi = jxj = kxk = 0 . Como los vectores unitarios i, j, y,k forman una base derecha, es inmediato que ixj = k , jxk = i ; kxi = j , esto es, los vectores unitarios permutan cíclicamente.(Ver la figura 22)
El producto vectorial de A yB cumple con :
Si A= Axi + Ayj + Azk ; y B= Bxi + Byj + Bzk ,entonces:
La magnitud de AxB es igual al area del paralelogramo de lados A y B
Los vectores no constituyen los entes físicos más complicados que pueden presentarse en mecánica. Considérese un trozo de plastilina, confinado en cierto volumen, y supongamos que ejercemos fuerzas sobre él, en una dirección cualquiera, por ejemplo en la dirección x, aplastándolo (ver la figura 24). El material al deformarse se extiende y ejerce fuerzas en las direcciones ( y, z) . Vemos que la fuerza y su efecto están dirigidos en distintas direcciones (de esta manera se comportan típicamente los sólidos). Para describir a estos cuerpos se necesita entes físicos especiales denominados tensores que no se tratarán en este curso.
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